模板（by 俊杰）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using _T=double;  // 全局数据类型，可修改为 long long 等

constexpr _T eps=1e-8;
constexpr long double PI=3.1415926535897932384l;

// 点与向量
template<typename T> struct point
{
    T x,y;

    bool operator==(const point &a) const {return (abs(x-a.x)<=eps && abs(y-a.y)<=eps);}
    bool operator<(const point &a) const {if (abs(x-a.x)<=eps) return y<a.y-eps; return x<a.x-eps;}
    bool operator>(const point &a) const {return !(*this<a || *this==a);}
    point operator+(const point &a) const {return {x+a.x,y+a.y};}
    point operator-(const point &a) const {return {x-a.x,y-a.y};}
    point operator-() const {return {-x,-y};}
    point operator*(const T k) const {return {k*x,k*y};}
    point operator/(const T k) const {return {x/k,y/k};}
    T operator*(const point &a) const {return x*a.x+y*a.y;}  // 点积
    T operator^(const point &a) const {return x*a.y-y*a.x;}  // 叉积，注意优先级
    int toleft(const point &a) const {const auto t=(*this)^a; return (t>eps)-(t<-eps);}  // to-left 测试
    T len2() const {return (*this)*(*this);}  // 向量长度的平方
    T dis2(const point &a) const {return (a-(*this)).len2();}  // 两点距离的平方

    // 涉及浮点数
    long double len() const {return sqrtl(len2());}  // 向量长度
    long double dis(const point &a) const {return sqrtl(dis2(a));}  // 两点距离
    long double ang(const point &a) const {return acosl(max(-1.0,min(1.0,((*this)*a)/(len()*a.len()))));}  // 向量夹角
    point rot(const long double rad) const {return {x*cos(rad)-y*sin(rad),x*sin(rad)+y*cos(rad)};}  // 逆时针旋转（给定角度）
    point rot(const long double cosr,const long double sinr) const {return {x*cosr-y*sinr,x*sinr+y*cosr};}  // 逆时针旋转（给定角度的正弦与余弦）
};

using Point=point<_T>;

// 极角排序
struct argcmp
{
    bool operator()(const Point &a,const Point &b) const
    {
        const auto quad=[](const Point &a)
        {
            if (a.y<-eps) return 1;
            if (a.y>eps) return 4;
            if (a.x<-eps) return 5;
            if (a.x>eps) return 3;
            return 2;
        };
        const int qa=quad(a),qb=quad(b);
        if (qa!=qb) return qa<qb;
        const auto t=a^b;
        // if (abs(t)<=eps) return a*a<b*b-eps;  // 不同长度的向量需要分开
        return t>eps;
    }
};

// 直线
template<typename T> struct line
{
    point<T> p,v;  // p 为直线上一点，v 为方向向量

    bool operator==(const line &a) const {return v.toleft(a.v)==0 && v.toleft(p-a.p)==0;}
    int toleft(const point<T> &a) const {return v.toleft(a-p);}  // to-left 测试
    bool operator<(const line &a) const  // 半平面交算法定义的排序
    {
        if (abs(v^a.v)<=eps && v*a.v>=-eps) return toleft(a.p)==-1;
        return argcmp()(v,a.v);
    }

    // 涉及浮点数
    point<T> inter(const line &a) const {return p+v*((a.v^(p-a.p))/(v^a.v));}  // 直线交点
    long double dis(const point<T> &a) const {return abs(v^(a-p))/v.len();}  // 点到直线距离
    point<T> proj(const point<T> &a) const {return p+v*((v*(a-p))/(v*v));}  // 点在直线上的投影
};

using Line=line<_T>;

// 线段
template<typename T> struct segment
{
    point<T> a,b;

    // 判定性函数建议在整数域使用

    // 判断点是否在线段上
    // -1 点在线段端点 | 0 点不在线段上 | 1 点严格在线段上
    int is_on(const point<T> &p) const  
    {
        if (p==a || p==b) return -1;
        return (p-a).toleft(p-b)==0 && (p-a)*(p-b)<-eps;
    }

    // 判断线段直线是否相交
    // -1 直线经过线段端点 | 0 线段和直线不相交 | 1 线段和直线严格相交
    int is_inter(const line<T> &l) const
    {
        if (l.toleft(a)==0 || l.toleft(b)==0) return -1;
        return l.toleft(a)!=l.toleft(b);
    }
    
    // 判断两线段是否相交
    // -1 在某一线段端点处相交 | 0 两线段不相交 | 1 两线段严格相交
    int is_inter(const segment<T> &s) const
    {
        if (is_on(s.a) || is_on(s.b) || s.is_on(a) || s.is_on(b)) return -1;
        const line<T> l{a,b-a},ls{s.a,s.b-s.a};
        return l.toleft(s.a)*l.toleft(s.b)==-1 && ls.toleft(a)*ls.toleft(b)==-1;
    }

    // 点到线段距离
    long double dis(const point<T> &p) const
    {
        if ((p-a)*(b-a)<-eps || (p-b)*(a-b)<-eps) return min(p.dis(a),p.dis(b));
        const line<T> l{a,b-a};
        return l.dis(p);
    }

    // 两线段间距离
    long double dis(const segment<T> &s) const
    {
        if (is_inter(s)) return 0;
        return min({dis(s.a),dis(s.b),s.dis(a),s.dis(b)});
    }
};

using Segment=segment<_T>;

// 多边形
template<typename T> struct polygon
{
    vector<point<T>> p;  // 以逆时针顺序存储

    size_t nxt(const size_t i) const {return i==p.size()-1?0:i+1;}
    size_t pre(const size_t i) const {return i==0?p.size()-1:i-1;}
    
    // 回转数
    // 返回值第一项表示点是否在多边形边上
    // 对于狭义多边形，回转数为 0 表示点在多边形外，否则点在多边形内
    pair<bool,int> winding(const point<T> &a) const
    {
        int cnt=0;
        for (size_t i=0;i<p.size();i++)
        {
            const point<T> u=p[i],v=p[nxt(i)];
            if (abs((a-u)^(a-v))<=eps && (a-u)*(a-v)<=eps) return {true,0};
            if (abs(u.y-v.y)<=eps) continue;
            const Line uv={u,v-u};
            if (u.y<v.y-eps && uv.toleft(a)<=0) continue;
            if (u.y>v.y+eps && uv.toleft(a)>=0) continue;
            if (u.y<a.y-eps && v.y>=a.y-eps) cnt++;
            if (u.y>=a.y-eps && v.y<a.y-eps) cnt--;
        }
        return {false,cnt};
    }

    // 多边形面积的两倍
    // 可用于判断点的存储顺序是顺时针或逆时针
    T area() const
    {
        T sum=0;
        for (size_t i=0;i<p.size();i++) sum+=p[i]^p[nxt(i)];
        return sum;
    }

    // 多边形的周长
    long double circ() const
    {
        long double sum=0;
        for (size_t i=0;i<p.size();i++) sum+=p[i].dis(p[nxt(i)]);
        return sum;
    }
};

using Polygon=polygon<_T>;

//凸多边形
template<typename T> struct convex: polygon<T>
{
    // 闵可夫斯基和
    convex operator+(const convex &c) const  
    {
        const auto &p=this->p;
        vector<Segment> e1(p.size()),e2(c.p.size()),edge(p.size()+c.p.size());
        vector<point<T>> res; res.reserve(p.size()+c.p.size());
        const auto cmp=[](const Segment &u,const Segment &v) {return argcmp()(u.b-u.a,v.b-v.a);};
        for (size_t i=0;i<p.size();i++) e1[i]={p[i],p[this->nxt(i)]};
        for (size_t i=0;i<c.p.size();i++) e2[i]={c.p[i],c.p[c.nxt(i)]};
        rotate(e1.begin(),min_element(e1.begin(),e1.end(),cmp),e1.end());
        rotate(e2.begin(),min_element(e2.begin(),e2.end(),cmp),e2.end());
        merge(e1.begin(),e1.end(),e2.begin(),e2.end(),edge.begin(),cmp);
        const auto check=[](const vector<point<T>> &res,const point<T> &u)
        {
            const auto back1=res.back(),back2=*prev(res.end(),2);
            return (back1-back2).toleft(u-back1)==0 && (back1-back2)*(u-back1)>=-eps;
        };
        auto u=e1[0].a+e2[0].a;
        for (const auto &v:edge)
        {
            while (res.size()>1 && check(res,u)) res.pop_back();
            res.push_back(u);
            u=u+v.b-v.a;
        }
        if (res.size()>1 && check(res,res[0])) res.pop_back();
        return {res};
    }

    // 旋转卡壳
    // func 为更新答案的函数，可以根据题目调整位置
    template<typename F> void rotcaliper(const F &func) const
    {
        const auto &p=this->p;
        const auto area=[](const point<T> &u,const point<T> &v,const point<T> &w){return (w-u)^(w-v);};
        for (size_t i=0,j=1;i<p.size();i++)
        {
            const auto nxti=this->nxt(i);
            func(p[i],p[nxti],p[j]);
            while (area(p[this->nxt(j)],p[i],p[nxti])>=area(p[j],p[i],p[nxti]))
            {
                j=this->nxt(j);
                func(p[i],p[nxti],p[j]);
            }
        }
    }

    // 凸多边形的直径的平方
    T diameter2() const
    {
        const auto &p=this->p;
        if (p.size()==1) return 0;
        if (p.size()==2) return p[0].dis2(p[1]);
        T ans=0;
        auto func=[&](const point<T> &u,const point<T> &v,const point<T> &w){ans=max({ans,w.dis2(u),w.dis2(v)});};
        rotcaliper(func);
        return ans;
    }
    
    // 判断点是否在凸多边形内
    // 复杂度 O(logn)
    // -1 点在多边形边上 | 0 点在多边形外 | 1 点在多边形内
    int is_in(const point<T> &a) const
    {
        const auto &p=this->p;
        if (p.size()==1) return a==p[0]?-1:0;
        if (p.size()==2) return segment<T>{p[0],p[1]}.is_on(a)?-1:0; 
        if (a==p[0]) return -1;
        if ((p[1]-p[0]).toleft(a-p[0])==-1 || (p.back()-p[0]).toleft(a-p[0])==1) return 0;
        const auto cmp=[&](const Point &u,const Point &v){return (u-p[0]).toleft(v-p[0])==1;};
        const size_t i=lower_bound(p.begin()+1,p.end(),a,cmp)-p.begin();
        if (i==1) return segment<T>{p[0],p[i]}.is_on(a)?-1:0;
        if (i==p.size()-1 && segment<T>{p[0],p[i]}.is_on(a)) return -1;
        if (segment<T>{p[i-1],p[i]}.is_on(a)) return -1;
        return (p[i]-p[i-1]).toleft(a-p[i-1])>0;
    }

    // 凸多边形关于某一方向的极点
    // 复杂度 O(logn)
    // 参考资料：https://codeforces.com/blog/entry/48868
    template<typename F> size_t extreme(const F &dir) const
    {
        const auto &p=this->p;
        const auto check=[&](const size_t i){return dir(p[i]).toleft(p[this->nxt(i)]-p[i])>=0;};
        const auto dir0=dir(p[0]); const auto check0=check(0);
        if (!check0 && check(p.size()-1)) return 0;
        const auto cmp=[&](const Point &v)
        {
            const size_t vi=&v-p.data();
            if (vi==0) return 1;
            const auto checkv=check(vi);
            const auto t=dir0.toleft(v-p[0]);
            if (vi==1 && checkv==check0 && dir0.toleft(v-p[0])==0) return 1;
            return checkv^(checkv==check0 && t<=0);
        };
        return partition_point(p.begin(),p.end(),cmp)-p.begin();
    }

    // 过凸多边形外一点求凸多边形的切线，返回切点下标
    // 复杂度 O(logn)
    // 必须保证点在多边形外
    pair<size_t,size_t> tangent(const point<T> &a) const
    {
        const size_t i=extreme([&](const point<T> &u){return u-a;});
        const size_t j=extreme([&](const point<T> &u){return a-u;});
        return {i,j};
    }

    // 求平行于给定直线的凸多边形的切线，返回切点下标
    // 复杂度 O(logn)
    pair<size_t,size_t> tangent(const line<T> &a) const
    {
        const size_t i=extreme([&](...){return a.v;});
        const size_t j=extreme([&](...){return -a.v;});
        return {i,j};
    }
};

using Convex=convex<_T>;

// 点集的凸包
// Andrew 算法，复杂度 O(nlogn)
Convex convexhull(vector<Point> p)
{
    vector<Point> st;
    sort(p.begin(),p.end());
    const auto check=[](const vector<Point> &st,const Point &u)
    {
        const auto back1=st.back(),back2=*prev(st.end(),2);
        return (back1-back2).toleft(u-back2)<=0;
    };
    for (const Point &u:p)
    {
        while (st.size()>1 && check(st,u)) st.pop_back();
        st.push_back(u);
    }
    size_t k=st.size();
    p.pop_back(); reverse(p.begin(),p.end());
    for (const Point &u:p)
    {
        while (st.size()>k && check(st,u)) st.pop_back();
        st.push_back(u);
    }
    st.pop_back();
    return {st};
}

// 半平面交
// 排序增量法，复杂度 O(nlogn)
// 输入与返回值都是用直线表示的半平面集合
vector<Line> halfinter(vector<Line> l, const _T lim=1e9)
{
    const auto check=[](const Line &a,const Line &b,const Line &c){return a.toleft(b.inter(c))<0;};
    // 无精度误差的方法，但注意取值范围会扩大到三次方
    /*const auto check=[](const Line &a,const Line &b,const Line &c)
    {
        const Point p=a.v*(b.v^c.v),q=b.p*(b.v^c.v)+b.v*(c.v^(b.p-c.p))-a.p*(b.v^c.v);
        return p.toleft(q)<0;
    };*/
    l.push_back({{-lim,0},{0,-1}}); l.push_back({{0,-lim},{1,0}});
    l.push_back({{lim,0},{0,1}}); l.push_back({{0,lim},{-1,0}});
    sort(l.begin(),l.end());
    deque<Line> q;
    for (size_t i=0;i<l.size();i++)
    {
        if (i>0 && l[i-1].v.toleft(l[i].v)==0 && l[i-1].v*l[i].v>eps) continue;
        while (q.size()>1 && check(l[i],q.back(),q[q.size()-2])) q.pop_back();
        while (q.size()>1 && check(l[i],q[0],q[1])) q.pop_front();
        if (!q.empty() && q.back().v.toleft(l[i].v)<=0) return vector<Line>();
        q.push_back(l[i]);
    }
    while (q.size()>1 && check(q[0],q.back(),q[q.size()-2])) q.pop_back();
    while (q.size()>1 && check(q.back(),q[0],q[1])) q.pop_front();
    return vector<Line>(q.begin(),q.end());
}

// 点集形成的最小最大三角形
// 极角序扫描线，复杂度 O(n^2logn)
// 最大三角形问题可以使用凸包与旋转卡壳做到 O(n^2)
pair<_T,_T> minmax_triangle(const vector<Point> &vec)
{
    if (vec.size()<=2) return {0,0};
    vector<pair<int,int>> evt;
    evt.reserve(vec.size()*vec.size());
    _T maxans=0,minans=numeric_limits<_T>::max();
    for (size_t i=0;i<vec.size();i++)
    {
        for (size_t j=0;j<vec.size();j++)
        {
            if (i==j) continue;
            if (vec[i]==vec[j]) minans=0;
            else evt.push_back({i,j});
        }
    }
    sort(evt.begin(),evt.end(),[&](const pair<int,int> &u,const pair<int,int> &v)
    {
        const Point du=vec[u.second]-vec[u.first],dv=vec[v.second]-vec[v.first];
        return argcmp()({du.y,-du.x},{dv.y,-dv.x});
    });
    vector<size_t> vx(vec.size()),pos(vec.size());
    for (size_t i=0;i<vec.size();i++) vx[i]=i;
    sort(vx.begin(),vx.end(),[&](int x,int y){return vec[x]<vec[y];});
    for (size_t i=0;i<vx.size();i++) pos[vx[i]]=i;
    for (auto [u,v]:evt)
    {
        const size_t i=pos[u],j=pos[v];
        const size_t l=min(i,j),r=max(i,j);
        const Point vecu=vec[u],vecv=vec[v];
        if (l>0) minans=min(minans,abs((vec[vx[l-1]]-vecu)^(vec[vx[l-1]]-vecv)));
        if (r<vx.size()-1) minans=min(minans,abs((vec[vx[r+1]]-vecu)^(vec[vx[r+1]]-vecv)));
        maxans=max({maxans,abs((vec[vx[0]]-vecu)^(vec[vx[0]]-vecv)),abs((vec[vx.back()]-vecu)^(vec[vx.back()]-vecv))});
        if (i<j) swap(vx[i],vx[j]),pos[u]=j,pos[v]=i;
    }
    return {minans,maxans};
}

// 判断多条线段是否有交点
// 扫描线，复杂度 O(nlogn)
bool segs_inter(const vector<Segment> &segs)
{
    if (segs.empty()) return false;
    using seq_t=tuple<_T,int,Segment>;
    const auto seqcmp=[](const seq_t &u, const seq_t &v)
    {
        const auto [u0,u1,u2]=u;
        const auto [v0,v1,v2]=v;
        if (abs(u0-v0)<=eps) return make_tuple(u1,u2.a,u2.b)<make_tuple(v1,v2.a,v2.b);
        return u0<v0-eps;
    };
    vector<seq_t> seq;
    for (auto seg:segs)
    {
        if (seg.a.x>seg.b.x+eps) swap(seg.a,seg.b);
        seq.push_back({seg.a.x,0,seg});
        seq.push_back({seg.b.x,1,seg});
    }
    sort(seq.begin(),seq.end(),seqcmp);
    _T x_now;
    auto cmp=[&](const Segment &u, const Segment &v)
    {
        if (abs(u.a.x-u.b.x)<=eps || abs(v.a.x-v.b.x)<=eps) return u.a.y<v.a.y-eps;
        return ((x_now-u.a.x)*(u.b.y-u.a.y)+u.a.y*(u.b.x-u.a.x))*(v.b.x-v.a.x)<((x_now-v.a.x)*(v.b.y-v.a.y)+v.a.y*(v.b.x-v.a.x))*(u.b.x-u.a.x)-eps;
    };
    multiset<Segment,decltype(cmp)> s{cmp};
    for (const auto [x,o,seg]:seq)
    {
        x_now=x;
        const auto it=s.lower_bound(seg);
        if (o==0)
        {
            if (it!=s.end() && seg.is_inter(*it)) return true;
            if (it!=s.begin() && seg.is_inter(*prev(it))) return true;
            s.insert(seg);
        }
        else
        {
            if (next(it)!=s.end() && it!=s.begin() && (*prev(it)).is_inter(*next(it))) return true;
            s.erase(it);
        }
    }
    return false;
}

// 多边形面积并
// 轮廓积分，复杂度 O(边数^2)
// ans[i] 表示被至少覆盖了 i+1 次的区域的面积
vector<double> area_union(const vector<Polygon> &polys)
{
    const size_t siz=polys.size();
    vector<vector<pair<Point,Point>>> segs(siz);
    const auto check=[](const Point &u,const Segment &e){return !((u<e.a && u<e.b) || (u>e.a && u>e.b));};
    auto cut_edge=[&](const Segment &e,const size_t i)
    {
        const Line le{e.a,e.b-e.a};
        const auto cmp=[&](const Point &u,const Point &v){return e.a<e.b?u<v:u>v;};
        map<Point,int,decltype(cmp)> cnt(cmp);
        cnt[e.a]; cnt[e.b];
        for (size_t j=0;j<polys.size();j++)
        {
            if (i==j) continue;
            const auto &pj=polys[j];
            for (size_t k=0;k<pj.p.size();k++)
            {
                const Segment s={pj.p[k],pj.p[pj.nxt(k)]};
                if (le.toleft(s.a)==0 && le.toleft(s.b)==0) cnt[s.a],cnt[s.b];
                else if (s.is_inter(le))
                {
                    const Line ls{s.a,s.b-s.a};
                    const Point u=le.inter(ls);
                    if (le.toleft(s.a)<0 && le.toleft(s.b)>=0) cnt[u]--;
                    else if (le.toleft(s.a)>=0 && le.toleft(s.b)<0) cnt[u]++;
                }
            }
        }
        int sum=cnt.begin()->second;
        for (auto it=cnt.begin();next(it)!=cnt.end();it++)
        {
            const Point u=it->first,v=next(it)->first;
            if (check(u,e) && check(v,e)) segs[sum].push_back({u,v});
            sum+=next(it)->second;
        }
    };
    for (size_t i=0;i<polys.size();i++)
    {
        const auto &pi=polys[i];
        for (size_t k=0;k<pi.p.size();k++)
        {
            const Segment ei={pi.p[k],pi.p[pi.nxt(k)]};
            cut_edge(ei,i);
        }
    }
    vector<double> ans(siz);
    for (size_t i=0;i<siz;i++)
    {
        double sum=0;
        sort(segs[i].begin(),segs[i].end());
        int cnt=0;
        for (size_t j=0;j<segs[i].size();j++)
        {
            if (j>0 && segs[i][j]==segs[i][j-1]) segs[i+(++cnt)].push_back(segs[i][j]);
            else cnt=0,sum+=segs[i][j].first^segs[i][j].second;
        }
        ans[i]=sum/2;
    }
    return ans;
}
计算几何（一）

最近点对问题

模板（by 俊杰）
